Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании
двушки – пять гривенников.
Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников?
На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.
Позиционная система
счисления.
Докажите, что
при
q 2 каждое натуральное число n может быть
единственным образом представлено в виде
Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что A ⊂ B ⊂ C).
Какое наибольшее количество прямоугольников 4*1 можно разместить в квадрате 6*6 (не нарушая границ клеток)?
На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.
|
|
 |
Условие
На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.
Решение
Возьмём учёного A, число друзей у которого максимально (если таких учёных несколько, возьмём любого из них); обозначим это число через N. Каждый из N друзей учёного A имеет хотя бы одного друга (A), не имеет более N друзей и никакие двое не имеют равного числа друзей. Следовательно, эти люди имеют 1, 2, 3, ..., N друзей. В частности, один из них дружит только с A.
