|
|
 |
Условие
Доказать, что существует такое натуральное число n, большее 1000, что сумма цифр числа 2n больше суммы цифр числа 2n+1.
Решение
Заметим, что
1) остатки чисел 1, 2, 2², 2³, ... при делении на 9 образуют периодическую последовательность 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, ...;
2) количество цифр в числе 2n не превосходит
lg 2n + 1 = n lg 2 + 1 ≤ n/3 + 1.
Обозначим через S(a) сумму цифр числа a. Предположим, что S(2n) ≤ S(2n+1) для всех n, не меньших некоторого N, то есть что для всех n ≥ N последовательность S(2n) не убывает. Тогда согласно 1) для n ≥ N при переходе от 2n к 2n+6 (за один период) сумма цифр увеличивается не меньше, чем на 1 + 2 + 4 + 8 + 7 + 5 = 27. Действительно, если a даёт при делении на 9 остаток 8, b – остаток 7 и a < b, то разность b − a не меньше 8, а сумма цифр числа имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число. Итак, S(2n+6) ≥ S(2n) + 27. Значит, при
n = N + 6k S(2n) = S(2N+6k) ≥ S(2N) + 27k = 9/2 n − 9/2 N + S(2N).
Поскольку все цифры не больше 9, согласно 2), S(2n) ≤ 9(n/3 + 1). Таким образом, при всех n = N + 6k выполнено неравенство 9/2 n − A ≤ S(2n) ≤ 3n + 9 (где A – число, не зависящее от n). Но поскольку 9/2 > 3, это, очевидно, неверно. Противоречие.
