ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79358
Темы:    [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Сферы (прочее) ]
[ Параллелепипеды (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У белой сферы 12% её площади окрашено в красный цвет. Доказать, что в сферу можно вписать параллелепипед, у которого все вершины белые.

Решение

Проведём через центр сферы три взаимно перпендикулярные плоскости и для каждой точки сферы рассмотрим её образы при симметриях относительно этих плоскостей и при композициях этих симметрий. Каждая точка, не лежащая на этих плоскостях, имеет ровно 8 образов. Следовательно, красные точки и их образы занимают не более 8 . 12% = 96% площади сферы. Поэтому найдётся точка, для которой все 8 образов белые. Эти 8 точек являются вершинами прямоугольного параллелепипеда.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 41
Год 1978
вариант
Класс 10
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .