Условие
У белой сферы 12% её площади окрашено в красный цвет. Доказать, что в сферу
можно вписать параллелепипед, у которого все вершины белые.
Решение
Проведём через центр сферы три взаимно перпендикулярные плоскости и для
каждой точки сферы рассмотрим её образы при симметриях относительно этих
плоскостей и при композициях этих симметрий. Каждая точка, не лежащая на этих
плоскостях, имеет ровно 8 образов. Следовательно, красные точки и их образы
занимают не более
8
. 12% = 96% площади сферы. Поэтому найдётся точка,
для которой все 8 образов белые. Эти 8 точек являются вершинами
прямоугольного параллелепипеда.
Источники и прецеденты использования
