Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

   Решение

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Решение

Пусть s, s₁, ..., s_n – площади квадрата и составляющих его прямоугольников, S, S₁, ..., S_n – площади описанных около них кругов. Если стороны k-го прямоугольника равны a и b, то  S_k = ¼ π(a² + b²). Поэтому  πs_k = πab ≤ ½ π(a² + b²) = 2S_k.  Следовательно,  2S = πs = π(s₁ + ... + s_n) ≤ 2(S₁ + ... + S_n).

Источники и прецеденты использования