Условие
Функция
y =
f (
x) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что
f (0) =
f (1) = 0 и что
|
f''(
x)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции
f для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?
Решение
Ответ: наибольшее значение равно
, оно принимается функцией
g(х) =
х(1 - х) в точке х =
.
Действительно, предположим, что нашлась такая функция
f, что
f (0) =
f (1) = 0, |
f''(
x)| ≤ 1 для всех
х
[0, 1] и в некоторой точке
a (0, 1)
f (а) >
. Положим
h(х) =
f (х) −
·
g(х). Так как
g''(х) = − 1,
f (а) >
≥
g(
a) > 0, то
h(0) =
h(1) = 0,
h''(х) =
f''(
x) +
> 0. Кроме того,
h(
a) = 0. Из условия
h''(х) > 0 следует, что
h'(х) монотонно возрастает. Значит, на одном из отрезков [0;а] или [а;1] она не меняет знака. Но тогда либо
h(0) = −
h'(х)
dх ≠ 0, либо
h (1) =
h'(х)
dх ≠ 0,
что приводит оба раза к противоречию. (Решение из книги [Гальперин, Толпыго]).
Замечания
Примечание Problems.Ru: В концах отрезка берется односторонняя производная.
Источники и прецеденты использования
