Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Найдите последние две цифры в десятичной записи числа 1! + 2! + ... + 2001! + 2002!.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы CF и AD. Найдите отношение SAFD : SABC, если AB : AC : BC = 21 : 28 : 20.
Докажите, что прямая, проходящая через центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC, перпендикулярна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и вершину A.
Точка M расположена на стороне CD квадрата ABCD с центром O, причём CM : MD = 1 : 2.
Найдите стороны треугольника AOM, если сторона квадрата равна 6.
Математик с пятью детьми зашёл в пиццерию.
Маша: Мне с помидорами и чтоб без колбасы.
Ваня: А мне с грибами.
Даша: Я буду без помидоров.
Никита: А я с помидорами. Но без грибов!
Игорь: И я без грибов. Зато с колбасой!
Папа: Да, с такими привередами одной пиццей явно не обойдёшься...
Сможет ли математик заказать две пиццы и угостить каждого рeбенка такой, какую тот просил, или все же придется три пиццы заказывать?
Угол при вершине A ромба ABCD равен 20°. Точки M и
N – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на
стороны AD и CD.
Найдите углы треугольника BMN.
Григорианский календарь. Обыкновенный год содержит 365 дней, високосный – 366. n-й год, номер которого не делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 4. n-й год, где n кратно 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 400. Так, например, 1996 и 2000 годы високосные, а 1997 и 1900 – нет. Эти правила были установлены папой Григорием XIII. До сих пор мы имели ввиду гражданский год, число дней которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что григорианский год полностью согласован с астрономическим, найдите продолжительность астрономического года.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковое ребро образует с плоскостью основания угол α . Найдите радиус описанного шара.
На плоскости даны две окружности радиусов 4 и 3 с центрами в
точках O1 и O2 , касающиеся некоторой прямой в точках
M1 и M2 и лежащие по разные стороны от этой прямой.
Отношение отрезка O1O2 к отрезку M1M2 равно
. Найдите O1O2 .
Доказать, что максимальное количество сторон выпуклого многоугольника, стороны которого лежат на диагоналях данного выпуклого 100-угольника, не больше 100.
|
|
 |
Условие
Доказать, что максимальное количество сторон выпуклого многоугольника, стороны
которого лежат на диагоналях данного выпуклого 100-угольника, не больше 100.
Решение
Пусть стороны выпуклого n-угольника лежат на диагоналях данного 100-угольника. Для каждой стороны n - угольника рассмотрим диагональ, на которой она лежит, и отметим её концы. Всего будет отмечено 2n точек. Из каждой вершины данного 100-угольника выходит не более двух таких диагоналей, поэтому каждая вершина отмечена не более двух раз. Следовательно, 2n ≤ 2 · 100, т.е. n ≤ 100.
