Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите суммы
  а)   1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
  б)   S_n,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).

   Решение

---

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
  а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
  б) Докажите, что можно взять  c = 4.
  в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для  c = 3.
  г) Постройте пример, показывающий, что при  c > 3  утверждение неверно.

   Решение

Темы:    [ Предел последовательности, сходимость ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что последовательность x_n = sin(n²) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Решение

Воспользуемся следующим тригонометрическим неравенством:

Пусть sin(k²) 0. Выберем ε < |sin 2| и такое N, что |sin(n²)| < ε при любом n > N. Используя приведенное выше тригонометрическое неравенство дважды, получаем:

откуда следует противоречивое неравенство:

(Решение из книги  [Гальперин, Толпыго]).

Источники и прецеденты использования