|
|
 |
Условие
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять c = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.
Решение
Предположим, что в некотором прямоугольнике со сторонами a и b (a < b) сумма по модулю равна 4 + ε, где ε > 0. Построим четыре квадрата, у каждого из которых три стороны идут по некоторым трём сторонам этого прямоугольника a×b; тогда прямые, на которых лежат четвёртые стороны этих квадратов, образуют новый прямоугольник со сторонами 2b – a и |2a – b| (см. рис. 1 и 2; случай b = 2a, разумеется, невозможен).
Можно считать, что s4 + s5 + s6 = 4 + ε (если эта сумма равна – (4 + ε), то заменим знаки у всех чисел на противоположные).
Рассмотрим сначала случай b < 2a. Тогда
s5 = (s4 + s5) + (s5 + s6) – (s4 + s5 + s6) ≤ 1 + 1 – 4 – ε = –2 – ε,
s2 + s8 = (s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6) + (s4 + s5 + s6 + s7 + s8 + s9) – s1 – s3 – s7 – s9 – 2(s4 + s5 + s6) ≤ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 – 2(4 + ε) = –2 – 2ε,
откуда s2 + s5 + s8 ≤ –4 – 3ε.
Аналогично если b > 2a, то
s5 = – s4 – s5 + (s4 + s5 + s6) ≤ –1 – 1 + 4 + ε ≤ 2 + ε,
s2 + s8 = (s1 + s2) + (s2 + s3) + (s7 + s8) + (s8 + s9) – (s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6) – (s4 + s5 + s6 + s7 + s8 + s9) + 2(s4 + s5 + s6) ≥ 2 + 2ε,
s2 + s5 + s8 ≥ 4 + 3ε.
Итак, мы доказали, что если в прямоугольнике a1×b1 сумма чисел по модулю больше 4 + ε, то в новом прямоугольнике a2×b2, где
a2 = |2a1 – b1|, b2 = 2b1 – a1, сумма чисел по модулю больше 4 + 3ε. Для прямоугольника a2×b2 мы можем построить точно тем же способом новый прямоугольник a3×b3, в котором сумма чисел будет больше 4 + 3·3ε = 4 + 9ε, и так далее – такую последовательность прямоугольников a1×b1, a2×b2, ..., an×bn, ..., что в прямоугольнике an×bn сумма чисел по модулю больше 4 + 3n–1ε.
Докажем, что в этой последовательности все прямоугольники, начиная с некоторого, будут относиться ко второму типу, то есть для них
bn > 2an. Действительно, во-первых, легко проверить, что если
Поэтому можно считать, что уже
При этом a3 = b2 – 2a2 = (2b1 – a1) – 2(b1 – 2a1) = 3a1, b3 = 2b2 – a2 = 2(2b1 – a1) – (b1 – 2a1) = 3b1.
Следовательно, вообще a2k+1 = 3ka1 и b2k+1 = 3kb1, причём сумма чисел в этом прямоугольнике 3ka1×3kb1 больше 4 + 9kε, то есть, выбрав k достаточно большим, мы можем сделать её сколь угодно большой. Но прямоугольник Na1×Nb1, где a1, b1 и N – целые числа, можно разбить на a1b1 квадратов (со стороной N), и поэтому сумма чисел в нём не может превосходить по модулю числа a1b1. Противоречие.
Рис. 3 поясняет вторую половину доказательства.
г) На рис.4 изображен пример, для которого сумма чисел в некотором прямоугольнике равна 3. Таким образом, для c < 3 утверждение задачи неверно.
в) Решение этой задачи неизвестно. Более того, весьма правдоподобно, что точная оценка c = 4. Впрочем, примеры, показывающие, что c может быть больше 3, тоже неизвестны.
