|
|
 |
Условие
Найдите суммы
а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
б) Sn,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).
Решение
а) Найдём сначала сумму вида 1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (n – 1)n.
Заметим, что 3k(k + 1) = k(k + 1)(k + 2) – (k – 1)k(k + 1). Сложив эти равенства по k от 1 до n – 1, получим, что
3(1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (n – 1)n = (n – 1)n(n + 1).
Вернёмся к решению задачи.
1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1 = (n·n – (n – 1)n) + (n(n – 1) – (n – 2)(n – 1)) + (n(n – 2) – (n – 3)(n – 2)) + ... + n·1 =
б) Заметим, что
Расположим в ряд n + k шаров. Каждое слагаемое вида представляет собой число выборок по 2k шаров из этого ряда, но не всех возможных, а таких, когда сперва выбирают k из первых k + m шаров, а затем ещё k шаров из оставшихся n – m.
Суммирование таких слагаемых по m от 0 до n – k можно интерпретировать так: сначала вставим в ряд шаров перегородку, слева и справа от которой находится не менее, чем по k шаров, а потом выберем k шаров слева и k шаров справа от нее.
Вместо этого можно поступить по-другому: возьмём ряд из n + k + 1 шара и выберем 2k + 1 из них; затем средний из выбранных шаров заменим перегородкой.
Отсюда ясно, что и, следовательно,
