Задача 79434

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

На окружности выбрано пять точек A₁, A₂, A₃, A₄, H. Обозначим через h_ij расстояние от точки H до прямой A_iA_j. Доказать, что   h₁₂h₃₄ = h₁₄h₂₃.

Решение

  Опустим перпендикуляры HH_ij на прямые A_iA_j. Точки H₁₂ и H₁₄ лежат на окружности с диаметром A₁H, поэтому
∠(HH₁₂, H₁₂H₁₄) = ∠(HA₁, A₁H₁₄) = ∠(HA₁, A₁A₄).  Точки H₂₃ и H₃₄ лежат на окружности с диаметром A₃H, поэтому
∠(HH₂₃, H₂₃H₃₄) = ∠(HA₃, A₃H₃₄) = ∠(HA₃, A₃A₄).  Следовательно,  ∠(HH₁₂, H₁₂H₁₄) = ∠(HH₂₃, H₂₃H₃₄).
  Аналогично  ∠(HH₁₄, H₁₄H₁₂) = ∠(HH₃₄, H₃₄H₂₃).  Таким образом, треугольники HH₁₂H₁₄ и HH₂₃H₃₄ подобны, поэтому  HH₁₂ : HH₂₃ = HH₁₄ : HH₃₄,  то есть
HH₁₂·HH₃₄ = HH₁₄·HH₂₃.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	46
Год	1983
вариант
Класс	8
задача
Номер	5