|
|
 |
Условие
Доказать, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны
h1, h2, h3, то объём тетраэдра не меньше, чем
h1h2h3/3.
Решение
Рассмотрим параллелепипед, образованный плоскостями, проходящими через рёбра тетраэдра параллельно противоположным рёбрам. Объём тетраэдра составляет 1/3 объёма этого параллелепипеда (см. решение задачи 76442), а расстояния между параллельными гранями параллелепипеда равны h1, h2 и h3. Поэтому остаётся проверить, что объём такого параллелепипеда не меньше h1h2h3. Рассмотрим грань параллелепипеда, на которую опущена высота h3. Эта грань является параллелограммом. Одна из сторон этого параллелограмма не меньше h2, а высота, опущенная на эту сторону, не меньше h1. Поэтому площадь этой грани не меньше h1h2, а объём параллелепипеда не меньше h1h2h3.
