Задача 79486

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Неравенства с модулями ] [ Разложение на множители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что ни для каких чисел x, y, t не могут одновременно выполняться три неравенства:  |x| < |y − t|, |y| < |t − x|, |t| < |x − y|.

Решение

  Предположим, что указанные неравенства имеют место. Возведём почленно в квадрат каждое неравенство, перенесём влево все правые части и разложим на множители полученные разности квадратов. Получим:  (x − y + t)(x + y − t) < 0,  (y − t + x)(y + t − x) < 0,  (t − x + y)(t + x − y) < 0.
  Произведение трёх отрицательных чисел отрицательно, поэтому  (x − y + t)²(x + y − t)²(y + t − x)² < 0.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	49
Год	1986
вариант
Класс	7
задача
Номер	2