|
|
 |
Условие
Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых
делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является
квадратом натурального числа.
Решение
Представим произведение произвольной пары чисел (a, b) из данного набора в виде произведения квадрата натурального числа на произведение простых делителей в первых степенях (например, если a = 213·34·19³,
b = 56·77·19, то ab = K²·2·7, где K = 26·3²·5³·7³·19²). Сопоставим паре (a, b)
получившийся набор простых делителей. Всевозможных различных пар (a, b) в наборе из 48 чисел а количество наборов из 10 простых делителей (включая пустой набор) 210 = 1024. Так как 1128 > 1024, то найдутся две различные пары (a, b) и (c, d) из набора, которым отвечает один и тот же набор (p1, p2,..., pk) простых делителей (0 ≤ k ≤ 10). Следовательно, abcd – точный квадрат.
Если при этом пары (a, b) и (c, d) не имеют общего элемента, то числа a, b, c, d – искомые. Если же общий элемент есть, например b = d, то тогда ac – точный квадрат. Выкинем на время числа a и c из рассмотрения. Тогда мы приходим к набору из 46 чисел, произведение которых имеет не более 10 различных простых делителей. Проведя те же рассуждения, что и выше, и учитывая, что приходим к выводу о существовании двух различных пар чисел (x, y) и (z, t) из набора, для которых xyzt – точный квадрат. Если общего элемента у этих пар нет, то x, y, z, t – искомые четыре числа; если же общий элемент есть, например x = t, то yz – точный квадрат. В этом случае искомой четвёркой чисел является (a, c, y, z).
