Задача 79523

Темы:    [ Теория множеств (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Конягин С.В.

Можно ли разбить множество целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого значения n числа n, n - 50, n + 1987 принадлежали трём разным подмножествам?

Решение

Ответ: нельзя. Доказательство проведём от противного. Предположим, что указанное в условии разбиение существует. Будем писать m k, если целые числа m и k принадлежат одному и тому же подмножеству разбиения, и m k, если нет. Докажем, что

n n + 1937    и    n n − 150

для любого целого n; отсюда будет следовать, что

0 1937 2 ^. 1937 ... 50 ^. 1937 = 646 ^. 150 − 50 645 ^. 150 − 50 ... − 50,

т. е. 0 − 50, а это противоречит условию задачи.
Назовем тройку чисел представительной, если она содержит по одному числу от каждого подмножества разбиения. По условию тройки

n − 50,  n,  n + 1987;    n − 100,  n − 50,  n + 1937    и    n + 1937,  n + 1987,  n + 2 ^. 1987

— представительные при любом n (1937 = 1987 − 50). В частности, из второй и третьей тройки видно, что n + 1937 n − 50 и n + 1937  n + 1987, а из первой — что n n - 50 и n n + 1987. Отсюда следует наше первое утверждение: n n + 1937. Теперь число n + 1937 во второй тройке можно заменить на n, т. е. тройка n − 100, n − 50, n — представительная. Подставляя в неё n − 50 вместо n, получим ещё одну представительную тройку n − 150, n − 100, n − 50. Из сравнения этих двух троек вытекает второе утверждение: n n − 150.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1987
выпуск
Номер	5
Задача
Номер	М1043
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	50
Год	1987
вариант
Класс	10
задача
Номер	4