Условие
Докажите, что из 53 различных натуральных чисел, не
превосходящих в сумме 1990, всегда можно выбрать 2 числа, составляющих в
сумме 53.
Решение
Допустим, что такой набор, из которого выбраны 2 числа, составляющие в сумме
53, не нашёлся. Пусть
k — количество чисел набора, меньших 53. Поскольку из каждой пары вида (
a, 53 −
a) в наборе может быть только одно число,
k ≤ 26. Так как все числа набора различны, их сумма не меньше, чем сумма
k
наименьших натуральных чисел плюс сумма 53 −
k подряд идущих натуральных чисел, наименьшее из которых равно 53. Следовательно, она не меньше, чем
1 + ... + 26 + 53 + ... + (53 + 26) = 13
. 27 + 27
. (53 + 13) = 2133 > 1990.
Получили противоречие. Следовательно, такого набора не существует.
Источники и прецеденты использования
