Задача 79571
|
|
 |
Условие
Докажите, что из 53 различных натуральных чисел, не
превосходящих в сумме 1990, всегда можно выбрать 2 числа, составляющих в
сумме 53.
Решение
Допустим, что такой набор, из которого выбраны 2 числа, составляющие в сумме 53, не нашёлся. Пусть k — количество чисел набора, меньших 53. Поскольку из каждой пары вида (a, 53 − a) в наборе может быть только одно число, k ≤ 26. Так как все числа набора различны, их сумма не меньше, чем сумма k наименьших натуральных чисел плюс сумма 53 − k подряд идущих натуральных чисел, наименьшее из которых равно 53. Следовательно, она не меньше, чем 1 + ... + 26 + 53 + ... + (53 + 26) = 13 . 27 + 27 . (53 + 13) = 2133 > 1990. Получили противоречие. Следовательно, такого набора не существует.
