Задача 79585

Тема:    [ Разложение на множители ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9,10,11

Условие

Автор: Сергеев И.Н.

Докажите, что если $а > b > с$, то $$a^2 (b-с) + b^2 (с-a) + с^2 (a-b) > 0.$$

Подсказка

Разложите данное выражение на множители.

Решение

Раскладывая данное выражение на множители, получаем $$a^2 (b-c) + b^2 (c-a) + c^2 (a-b) = a^2 (b-c) - a b^2 + b^2 c + - bc^2 + c^2 a =$$ $$= a^2 (b-c) - a (b-c)(b+c) + bc (b-c) = (b-c) \left(a^2 - a(b+c) + bc \right) = $$ $$=(b-c) (a-b) (a-c) > 0,$$ так как по условию $b > c$, $a > b$, $a > c$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	54
Год	1991
вариант
Класс	8
задача
Номер	1