|
|
 |
Условие
По данным точкам $A$ и $B$ на плоскости требуется построить на луче $AB$ точку $С$, удовлетворяющую условию $AC = 2 AB$. Можно ли это сделать, пользуясь одним лишь циркулем неизменного раствора $r$, если а) $AB < 2r$; б)$AB \ge 2r$?Подсказка
а) В случае $AB=r$ постройте точку, симметричную точке $A$ относительно $B$, а в общем случае найдите точку, находящуюся на расстоянии $r$ от точек $A$ и $B$ и воспользуйтесь предыдущим построением. б) От точки $A$ постройте сеть вершин правильных треугольников так, чтобы одна из них находилась от точки $B$ на расстоянии, меньшем $r$.Решение
Для данной точки $X$ будем обозначать через $X'$ точку, симметричную ей относительно точки $B$. Требование задачи состоит в том, чтобы построить точку $C = A'$, пользуясь только циркулем раствора $r$. Заметим сначала, что если $AB=r$, то искомую точку $C = A'$ можно построить так, как показано на рисунке ниже: начертив окружность с центром в точке $B$ (она пройдёт через точку $A$), последовательно находим на ней точки $D$, $E$ и $A'$, где $$AB=AD=DE=EA'=BA'=r.$$а) Пусть $AB < 2r$. Тогда построим две точки $D$ и $E$ на пересечении окружностей радиусов $r$ с центрами в точках $A$ и $B$. Поскольку $BD = BE = r$, то как и выше, мы можем построить симметричные им точки $D'$ и $E'$. Но тогда искомая точка $A'$ является точкой пересечения окружностей радиуса $r$ с центрами в точках $D'$ и $E'$, отличной от $B$ (см. рисунок).
б) Пусть теперь $AB > 2r$. Выбирая любую точку на расстоянии $r$ от точки $A$, мы можем построить правильный треугольник со стороной $r$, двумя из вершин которого являются эти точки. Затем выбирая только что построенную точку и одну из предыдущих, можно построить ещё один правильный треугольник, и т. д. Таким способом можно построить на плоскости любые точки, лежащие в узлах получающейся решётки из правильных треугольников. Расстояние от точки $B$ до вершин правильного треугольника этой решётки, в который она попадает, не превосходит $r$, поэтому этот треугольник полностью лежит в круге с центром в точке $B$ и радиусом $r$. Пусть $D$ и $E$ – две из вершин этого треугольника (см. рисунок).
