Задача 79590

Темы:    [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Уравнения высших степеней (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Решите уравнение  (1 + x + x²)(1 + x + ... + x¹⁰) = (1 + x + ... + x⁶)².

Решение

   Умножим обе стороны уравнения на  (1 − x)²:  (1 − x³)(1 − x¹¹) = (1 − x⁷)².
   После раскрытия скобок, получим  − x³ − x¹¹ = − 2x⁷,  или  x³(1 − x⁴)² = 0.  Отсюда  x = −1, 0  или 1. Корень 1 мог возникнуть из-за умножения на
1 − x,  проверкой убеждаемся, что это действительно так.

Ответ

x = −1, 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	54
Год	1991
вариант
Класс	9
задача
Номер	1