Условие
Колоду из а) 36, б) 54 карт фокусник разложил на несколько кучек и на всех
картах каждой кучки написал число, равное количеству карт в этой кучке.
Затем он специальным образом перемешал карты, опять разложил их на кучки и
написал на каждой карте справа от первого числа — второе, равное количеству
карт в новой кучке. Мог ли фокусник добиться того, чтобы среди пар чисел,
записанных на картах, не было одинаковых пар, но для каждой пары $(m, n)$
можно было найти пару $(n, m)$?
Подсказка
а) Все 36 карт можно разложить на кучки по 1, 2, ...,
8 карт.
б) Из 54 карт 45 можно разложить на кучки по
1, 2, ..., 9 карт, а оставшиеся 9 карт – на одну кучку из
двух карт и 7 «кучек» по одной карте в каждой.
Решение
а) Пусть при первой раскладке фокусник разложил все карты на кучки по 1, 2, ..., 8 карт (тогда будут разложены все $1+2+3+\ldots+8= \frac{9 \cdot 8}{2}=36$ карт), а при второй в одну кучку взял по одной карте с разными номерами (всего 8 штук), в следующую – по одной карте с разными номерами из оставшихся (всего 7 штук), и т. д. Тогда среди пар чисел, записанных на картах, нет одинаковых, а для каждой пары $(m,n)$ можно найти пару $(n,m)$.
Наглядно это можно представить следующим образом: если на некоторой карте после двух раскладок написана пара чисел $(m, n)$, то разместим её в прямоугольной таблице на пересечении строки с номером $n$ и столбца с номером $m$.
При этом в каждой строке и в каждом столбце число карт кратно номеру строки или номеру столбца соответственно. Пара раскладок удовлетворяет условию задачи, если в этой таблице все 36 карт окажутся на разных местах, причём симметрично относительно диагонали (мест, в которых номер строки равен номеру столбца). Таблица на рисунке выше соответствует описанному варианту двух раскладок (крестиками отмечены занятые картами ячейки).
б) Покажем, как фокусник может дважды разложить 54 карты так, чтобы условие задачи было выполнено. Пример двух подходящих раскладок проиллюстрирован на
рисунке ниже.
Пусть каждой из 54 карт соответствует своя отмеченная крестиком ячейка. Для удобства будем считать, что каждая карта лежит в соответствующей ей ячейке. При первой раскладке все карты из первой строки разложим на 8 кучек по одной карте, карты из двух закрашенных ячеек второй строки положим вместе в одну кучку из двух карт, карты из двух незакрашенных ячеек второй строки – в другую кучку из двух карт, составим ещё семь кучек из карт каждой из оставшихся строк. При второй раскладке составим такие же кучки, используя теперь номера столбцов вместо строк (сначала все карты из первого столбца разложим на 8 кучек по одной карте, карты из двух закрашенных ячеек второго столбца положим вместе в одну кучу из двух карт, и т. д.). При таких раскладках на каждой из карт будет написано два числа: сначала номер её строки, а потом номер её столбца.
Поскольку в этой таблице каждой ячейке сопоставлено по одной карте, а сами ячейки отмечены крестиками симметрично относительно её диагонали, среди пар чисел, записанных на картах, нет одинаковых, а для каждой пары $(m,n)$ можно найти пару $(n,m)$.
Ответ
а) Да; б) да.
Замечания
См. также
задачу 5 для 10 класса.
Источники и прецеденты использования
