Условие
Какое количество $n$ из 16 одинаковых биллиардных шаров можно расположить в
пространстве так, чтобы каждый шар касался ровно трёх других?
Перечислите все возможные значения $n$.
Подсказка
Найдите число всех точек касания шаров при расположении указанным способом.
Решение
Удвоенное число точек касания при расположении $n$ шаров указанным в задаче способом равно $3n$, поэтому $n$ чётно, причём $n > 2$. Значение $n=4$ удовлетворяет условию задачи, так как четыре шара можно расположить требуемым образом так, чтобы их центры лежали в вершинах правильного тетраэдра с ребром $a=2r$, где $r$ – радиус каждого шара. Пусть теперь $n=2k$, $k>2$. Тогда расположим $2k$ шаров так, чтобы их центры лежали в вершинах правильной $k$-угольной призмы, у которой все рёбра также равны $a=2r$. Каждый из шаров при таком расположении касается ровно трёх других: двух шаров с центрами в соседних вершинах $k$-угольника, лежащего в том же основании, и одного шара с центром в соответствующей вершине $k$-угольника, лежащего в другом основании. Таким
образом, все чётные значения $n>4$ также годятся.
Ответ
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.
Источники и прецеденты использования
