Условие
На рисунке дана ортогональная проекция земного шара с экватором ($A$ и $B$ – общие точки проекции экватора с окружностью).
Как с помощью циркуля и линейки найти проекцию северного полюса?
Подсказка
Искомая точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Чтобы найти расстояние, на котором она находится от середины этого отрезка, рассмотрите «вид сбоку», т. е. ортогональную проекцию земного шара в направлении луча $AB$.
Решение
Соединим точки $A$ и $B$ отрезком и проведём через его середину $O$ перпендикулярную прямую. Искомая проекция северного полюса лежит на этой прямой на некотором расстоянии $x$ от точки $O$. Будем называть всякую прямую пространства вертикальной, если она параллельна этой прямой, и горизонтальной, если она ей перпендикулярна. Для решения задачи достаточно построить отрезок длины $x$.
Пусть $R$ – радиус земного шара, $a$ – расстояние от точки $O$ до каждой из двух точек пересечения проведённого перпендикуляра с проекцией экватора (см. рисунок слева). Рассмотрим «вид сбоку», т. е. ортогональную проекцию земного шара вдоль прямой $AB$ на некоторую плоскость. Эта
проекция изображена на рисунке по центру: точки $A$, $B$ и $O$ проектируются в одну и ту же точку $O_1$, $D_1E_1$ – проекция экватора, $C_1$ – проекция северного полюса.
В плоскости проекции проведём через точку $O_1$ вертикальную и горизонтальную прямые (такие прямые существуют и единственны, так как $AB$ – горизонтальная прямая). Пусть $C_1'$ и $D_1'$ – основания перпендикуляров, опущенных из точек $C_1$ и $D_1$ на эти прямые соответственно. Тогда длина отрезка $O_1C_1'$ равна искомой величине $x$. Прямоугольные треугольники $O_1C_1C_1'$ и $O_1D_1D_1'$ равны, так как $\angle C_1O_1D_1 = \angle C_1'O_1D_1' = 90^\circ$ и $O_1C_1 = O_1D_1 = R$, поэтому $O_1C_1'=O_1D_1'=x$. Но $D_1D_1'=a$ и $O_1D_1=R$, поэтому $O_1D_1'=x$ есть катет в прямоугольном
треугольнике с другим катетом $a$ и гипотенузой $R$. Построим треугольник, равный треугольнику $O_1D_1D_1'$ (и $O_1C_1C_1'$), на исходном рисунке. Для этого проведём через точку $D$ прямую, параллельную $AB$, до пересечения в точке $F$ с проекцией земного шара. Тогда в прямоугольном треугольнике $ODF$ имеем $OD=a$, $OF=R$ и, значит, $DF=x$.
Ответ
Через середину $O$ отрезка $AB$ проведём к нему перпендикуляр, на котором отложим
вверх искомую точку $C$ (проекцию северного полюса) так, чтобы отрезок $OC$ был равен половине хорды, параллельной $AB$ и проходящей через точку $D$ пересечения перпендикуляра с проекцией экватора (см. рисунок).
Замечания
Разумеется, отрезок длины $x$ можно найти и другими способами – например, построить на отдельном чертеже прямоугольный треугольник с катетом $a$ и гипотенузой $R$, или так, как показано на рисунке в решениях справа: провести окружность с центром $O$ через точку $D$, а затем ещё одну окружность радиуса $R=OB$ с центром в точке $G$ пересечения первой и отрезка $OB$, тогда вторая окружность и пересечёт верхнюю часть серединного перпендикуляра к $AB$ в искомой точке $C$.
Источники и прецеденты использования
