Условие
Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно
поместить ромб вдвое меньшей площади.
Решение
Пусть
O — центр симметрии,
A — одна из наиболее удалённых от
O вершин многоугольника,
B — вершина, симметричная
A относительно
O. Восставим к прямой
AB перпендикуляр
lA в точке
A, перпендикуляр
lO в точке
O и перпендикуляр
lB в точке
B. Так как
A и
B — самые далёкие от
O вершины многоугольника, то прямые
lA и
lB — опорные (то есть весь многоугольник лежит по одну сторону от каждой из этих прямых). Пусть
C,
D — точки пересечения границы многоугольника с прямой
lO. Проведём в этих точках параллельные опорные прямые
l1 и
l2. Тогда при пересечении прямых
la,
lb,
l1 и
l2 образуется параллелограмм
UVWT. Заметим, что
C и
D — середины соответствующих сторон параллелограмма. Следовательно, площадь ромба
ACBD равна половине площади параллелограмма
UVWT. Так как все стороны этого параллелограмма являются опорными прямыми, то исходный многоугольник лежит внутри него. Следовательно, площадь исходного многоугольника не превосходит площади параллелограмма
UVWT, откуда и следует утверждение задачи.
Источники и прецеденты использования
