Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

   Решение

Доказать, что  (2ⁿ – 1)ⁿ – 3  делится на  2ⁿ – 3  при любом n.

   Решение

Доказать, что при чётном n   20ⁿ + 16ⁿ – 3ⁿ – 1  делится на 323.

   Решение

Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

   Решение

12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (k+1)-м – те, кто были в k-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?

   Решение

По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.

   Решение

Тема:    [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.

Решение

  Предположим, что среди всех 2005 чисел есть хотя бы одно нечётное. Рассмотрим два случая.
  1) Сумма всех чисел чётна. Тогдае все 2005 чисел нечётными быть не могут. Поэтому найдутся чётное и нечётное числа, стоящие рядом. Выкинем их. Сумма оставшихся чисел нечётна, следовательно, их нельзя разбить на две группы с равной суммой.
  2) Сумма всех чисел нечётна. Если нечётных чисел больше половины, то найдутся два нечётных числа, стоящие рядом. Если же нечётных чисел меньше половины, то аналогично найдутся два соседних чётных числа. Выкинем два соседних нечётных или чётных числа, тогда у оставшихся чисел сумма нечётна и их нельзя разбить на искомые группы.
  Пусть все числа чётные. Будем делить их на два, пока хотя бы одно из чисел не станет нечётным. В результате каждое из чисел разделится на некоторое число N. Из получившегося набора выкинем два соседних числа так, чтобы оставшиеся числа нельзя было разбить на две группы с равной суммой. После умножения этих чисел на N их также нельзя будет разбить на две группы с равной суммой.

Источники и прецеденты использования