Задача 86111

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дан остроугольный треугольник ABC и точка P, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников PAB, PAC, PBC и ABC, а также окружность, проходящая через проекции точки P на стороны треугольника ABC, пересекаются в одной точке.

Решение

Обозначим середину AP через A₁, середину BC через A₂, проекцию точки P на BC через A₃. Точки B₁, B₂, B₃ и C₁, C₂, C₃ определим аналогично. Обозначим точку пересечения описанных окружностей треугольников B₁C₂A₁ и C₁B₂A₁ через Q. Докажем, что описанная окружность треугольника C₁B₁A₂ тоже содержит точку Q.
Заметим, что A₁QC₁ = 180° − A₁B₂C₁ = 180° − A₁PC₁. Аналогично A₁QB₁ = 180° − A₁PB₁. Значит,
B₁QC₁ = A₁QB₁ + A₁QC₁ = 360° − A₁PC₁ − A₁PB₁ = B₁PC₁ = B₁A₂C₁.
Следовательно, описанная окружность треугольника C₁B₁A₂ тоже содержит точку Q.
Аналогично доказывается, что описанная окружность треугольника A₂B₂C₂ тоже содержит точку Q.
Осталось доказать, что описанная окружность треугольника A₃B₃C₃ тоже содержит точку Q. Для этого достаточно показать, что A₃C₃B₃ = A₃QB₃. Точка C₃ симметрична точке P относительно A₁B₁. Значит, A₁C₃B₁ = A₁PB₁ = A₁C₂B₁. Поэтому точка C₃ лежит на описанной окружности треугольника A₁C₂B₁.

Так как точки A₁, B₃, B₂, C₁, Q лежат на одной окружности и четырёхугольник AB₃PC₃ вписанный (поскольку углы B₃ и C₃ в нём прямые), то B₃QC₁ = B₃A₁C₁ = C₁A₁P = PAB₃ = B₃C₃P.
Аналогично A₃C₃P = A₃QC₁. Значит,
A₃C₃B₃ = A₃C₃P + B₃C₃P = B₃QC₁ + A₃QC₁ = A₃QB₃,
что и требовалось доказать.
Другие случаи расположения точек рассматриваются аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	68
Год	2005
вариант
Класс	9
задача
Номер	6