Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании
двушки – пять гривенников.
Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников?
На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.
Позиционная система
счисления.
Докажите, что
при
q 2 каждое натуральное число n может быть
единственным образом представлено в виде
Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что A ⊂ B ⊂ C).
Какое наибольшее количество прямоугольников 4*1 можно разместить в квадрате 6*6 (не нарушая границ клеток)?
|
|
 |
Условие
Какое наибольшее количество прямоугольников 4*1 можно
разместить в квадрате 6*6 (не нарушая границ клеток)?
Решение
Один из примеров расположения — см. рис. 1
Для доказательства того, что невозможно расположить больше, раскрасим квадрат в четыре цвета так, чтобы любой прямоугольник располагался на четырех клетках, закрашенных в различные цвета (см. рис. 2). Клеток, имеющих цвет N 4 будет только 8, поэтому и прямоугольников можно разместить не более восьми.
Другой вариант доказательства — раскраска квадрата в два цвета (см. рис. 3). При такой раскраске любой прямоугольник располагается на двух черных и двух белых клетках. Но, при такой раскраске, черных клеток — 20, а светлых — только 16, поэтому больше восьми прямоугольников в данном квадрате расположить невозможно.
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Ответ
8.00
