Условие
Докажите, что через данную точку можно провести единственную
плоскость, перпендикулярную данной прямой.
Решение
Пусть данная точка M не лежит на данной прямой h . Проведём
через них плоскость α (рис.1). Пусть прямая плоскости α , проходящая
через точку M перпендикулярно прямой h , пересекает прямую h в точке
A . Через произвольную точку, не лежащую в плоскости α , и прямую h
проведём плоскость β . В плоскости β проведём прямую AN ,
перпендикулярную прямой h . Через пересекающиеся прямые AM и AN
проведём плоскость γ . Поскольку прямая h перпендикулярна двум
пересекающимся прямым AM и AN плоскости γ , прямая h перпендикулярна
плоскости γ .
Докажем единственность. Предположим, что существует плоскость
γ 1 , проходящая через точку M перпендикулярно прямой h и отличная
от плоскости γ . Поскольку плоскости γ и γ 1 имеют
общую точку M , они пересекаются по прямой l , проходящей через эту точку.
Если прямая l не пересекается с прямой h (рис.2), то плоскости γ и
γ 1 пересекают прямую h в двух различных точках B и C .
Тогда в плоскости пересекающихся прямых MB и MC из точки M опущены два
перпендикуляра MB и MC на прямую h . Что невозможно.
Если прямая l пересекает прямую h в точке D (рис.3), то через прямую h
и произвольную точку K , не лежащую на прямых l и h , проведём
плоскость ϕ . Эта плоскость пересекает плоскости γ и γ 1
по различным прямым, пересекающимся в точке D , а т.к. прямая h перпендикулярна
плоскостям γ и γ 1 , то она перпендикулярна обеим этим прямым.
Таким образом, в плоскости ϕ через точку D проходят две различные прямые,
перпендикулярные прямой h . Что также невозможно.
Пусть теперь точка M лежит на прямой h . В произвольной
плоскости, проходящей через прямую h , проведём перпендикуляр MM1 к
прямой h . Затем через точку M1 , не лежащую на прямой h , указанным
выше способом проведём плоскость, перпендикулярную прямой h . Далее
все аналогично рассмотренному случаю.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7003 |
