Условие
Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует с
плоскостью основания угол
60
o . Найдите угол апофемы
с плоскостью соседней боковой грани.
Решение
Пусть
M – центр основания
ABCD правильной четырёхугольной
пирамиды
ABCDP ;
K – середина
AD . Обозначим
AB = a .
Найдём угол между апофемой
PK и плоскостью грани
DPC . Пусть
H
– ортогональная проекция точки
K на плоскость грани
DPC ,
ϕ
– искомый угол. Тогда
ϕ = 
KPH и
sin ϕ = 
.
Поскольку
K – середина отрезка
AD , расстояние
KH от точки
K до
плоскости грани
DPC вдвое меньше расстояния от точки
A до этой
плоскости, а т.к. прямая
AB параллельна плоскости
DPC , то все её
точки равноудалены от этой плоскости.
Пусть
E и
F – середины ребер
AB и
CD соответственно. Тогда
расстояние от точки
E до плоскости
DPC равно высоте
EG
равностороннего треугольника
EPF , т.е.
EG = 
. Поэтому
KH = 
EG = 
.
Следовательно,
sin ϕ = = 
= 
.
Ответ
arcsin .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7078 |
