Задача 86902

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите угол апофемы с плоскостью соседней боковой грани.

Решение

Пусть M – центр основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды ABCDP ; K – середина AD . Обозначим AB = a . Найдём угол между апофемой PK и плоскостью грани DPC . Пусть H – ортогональная проекция точки K на плоскость грани DPC , ϕ – искомый угол. Тогда ϕ = KPH и sin ϕ = . Поскольку K – середина отрезка AD , расстояние KH от точки K до плоскости грани DPC вдвое меньше расстояния от точки A до этой плоскости, а т.к. прямая AB параллельна плоскости DPC , то все её точки равноудалены от этой плоскости. Пусть E и F – середины ребер AB и CD соответственно. Тогда расстояние от точки E до плоскости DPC равно высоте EG равностороннего треугольника EPF , т.е. EG = . Поэтому

KH = EG = .
Следовательно,
sin ϕ = = = .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7078