Задача 86905

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Расстояние между противоположными рёбрами правильной треугольной пирамиды равно её бокового ребра. Найдите угол апофемы с соседней боковой гранью.

Решение

Пусть ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной P ; AB = BC = AC = a ; M – центр треугольника ABC ; K , L и N – середины отрезков AB , BC и AC соответственно. Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую AP . Тогда прямая AP перпендикулярна плоскости треугольника BFC . Поэтому FL AP . С другой стороны, FL – медиана равнобедренного треугольника BFC , поэтому FL BC . Следовательно, FL – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP и BC . По условию задачи FL = a . Пусть α – угол бокового ребра данной пирамиды с плоскостью её основания. Из прямоугольного треугольника AFL находим, что

sin α = sin FAL = = = .
Тогда
cos α = , tg α = = ,

AP = = = ,

PM = AM· tg α = · = .
Обозначим через β угол боковой грани пирамиды с плоскостью её основанияю. Из прямоугольного треугольника PML находим, что
tg β = = = ,

cos β = , sin β = .
Пусть ϕ – угол между апофемой PL и плоскостью грани APC , D – ортогональная проекция точки L на плоскость грани APC . Тогда искомый угол ϕ – это угол LPD , а
sin ϕ = .
Таким образом, для решения задачи нужно найти апофему пирамиды и расстояние от точки L до плоскости грани APC . Апофему PL найдём из прямоугольного треугольника PLM :
PL = = = .
Поскольку L – середина наклонной BC к плоскости грани APC , расстояние LD вдвое меньше расстояния от точки B до этой плоскости. Пусть BG – высота треугольника PBN . Тогда BG перпендикулярно плоскости грани APC , поэтому LD = BG . Из прямоугольного треугольника BGN находим, что
BG = BN sin BNP = BN sin β = · = , LD = .
Следовательно,
sin ϕ = = = .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7081