Условие
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды
ABCDP (
P
– вершина) равна
4
, а угол между соседними боковыми гранями равен
120
o . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
диагональ
BD основания параллельно боковому ребру
CP .
Решение
Заметим, что по теореме о трёх перпендикулярах
PC
BD .
Пусть
F – проекция вершины
B на боковое ребро
PC . Поскольку
прямая
PC перпендикулярна двум пересекающимся прямым (
BF и
BD ), эта
прямая перпендикулярна плоскости
BDF , следовательно,
BFD = 120
o .
Пусть прямая, проходящая через центр
M квадрата
ABCD
параллельно боковому ребру
CP , пересекает боковое ребро
AP в точке
K . Тогда плоскость
DBK параллельна
CP , поскольку она содержит
прямую
MK , параллельную
CP . Значит, треугольник
BDK – искомое
сечение. При этом
MK – средняя линия треугольника
ACP .
Из прямоугольного треугольника
BMF находим, что
MF = MB ctg
BFM =
· ctg 60o =
.
Тогда
sin
MCF =
=
=
,
cos
MCF =
.
Из прямоугольного треугольника
PMC находим, что
CP =
=
= 2
.
Следовательно,
SΔ BDK =
BD· MK =
BD· CP =
· 8· 2
= 4
.
Ответ
4
.
Источники и прецеденты использования
|
web-сайт |
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
неизвестно |
Номер |
7091 |