Условие
В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDP угол между боковым
ребром PA и плоскостью основания ABCD равен углу между ребром
PA и плоскостью PBC . Найдите этот угол.
Решение
Пусть E – ортогональная проекция точки A на плоскость грани
BPC . Тогда 
APE – искомый угол. Обозначим его α .
Поскольку прямая AD параллельна плоскости грани BPC , все её
точки равноудалены от этой плоскости.
Рассмотрим сечение данной пирамиды плоскостью, проходящей
через точку P , середину L ребра AD и центр M основания ABCD .
Эта плоскость перпендикулярна прямым AD и BC , поскольку каждая из
этих параллельных прямых перпендикулярна PM (высоте пирамиды) и PL .
Пусть эта плоскость пересекает ребро BC в точке K . Тогда PK –
высота и медиана равнобедренного треугольника BPC . Высота LF
равнобедренного треугольника LPK перпендикулярна плоскости BPC ,
т.к. она перпендикулярна пересекающимся прямым PK и BC этой
плоскости. Значит, LF = AE .
Прямоугольные треугольники AEP и PMA равны по гипотенузе ( AP –
общая) и острому углу ( APE = PAM по условию задачи),
поэтому
PM = AE = LF.
В равнобедренном треугольнике
LPK равны высоты, опущенные на
основание и боковую сторону, следовательно, этот треугольник –
равносторонний.
Обозначим
AD = a . Тогда
AM = 
,
PM = LM tg PLM = 
· tg 60o = 
,
tg α = tg PAM = 
=
= 
,
cos α = 
.
Ответ
arctg = arccos .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7099 |
