Условие
В правильной четырёхугольной пирамиде
ABCDP угол между боковым
ребром
PA и плоскостью основания
ABCD равен углу между ребром
PA и плоскостью
PBC . Найдите этот угол.
Решение
Пусть
E – ортогональная проекция точки
A на плоскость грани
BPC . Тогда
APE – искомый угол. Обозначим его
α .
Поскольку прямая
AD параллельна плоскости грани
BPC , все её
точки равноудалены от этой плоскости.
Рассмотрим сечение данной пирамиды плоскостью, проходящей
через точку
P , середину
L ребра
AD и центр
M основания
ABCD .
Эта плоскость перпендикулярна прямым
AD и
BC , поскольку каждая из
этих параллельных прямых перпендикулярна
PM (высоте пирамиды) и
PL .
Пусть эта плоскость пересекает ребро
BC в точке
K . Тогда
PK –
высота и медиана равнобедренного треугольника
BPC . Высота
LF
равнобедренного треугольника
LPK перпендикулярна плоскости
BPC ,
т.к. она перпендикулярна пересекающимся прямым
PK и
BC этой
плоскости. Значит,
LF = AE .
Прямоугольные треугольники
AEP и
PMA равны по гипотенузе (
AP –
общая) и острому углу (
APE = PAM по условию задачи),
поэтому
PM = AE = LF.
В равнобедренном треугольнике
LPK равны высоты, опущенные на
основание и боковую сторону, следовательно, этот треугольник –
равносторонний.
Обозначим
AD = a . Тогда
AM = 
,
PM = LM tg PLM = 
· tg 60o = 
,
tg α = tg PAM = 
=
= 
,
cos α = 
.
Ответ
arctg = arccos .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7099 |
