Задача 86924

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через боковое ребро PC правильной треугольной пирамиды ABCP проведена плоскость, параллельная стороне AB основания. Боковое ребро PA образует с этой плоскостью угол arcsin . Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Решение

Обозначим через a и b сторону основания и боковое ребро данной пирамиды, через α – искомый угол. Пусть E – ортогональная проекция точки A на проведённую плоскость. По условию задачи sin APE = , поэтому

AE = AP sin APE = .
Поскольку прямая AB параллельна проведённой плоскости, все её точки равноудалены от этой плоскости. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки C , P и середину K ребра AB . В этой плоскости расположен центр M основания пирамиды. Высота KD треугольника CPK перпендикулярна плоскости, проведённой через прямую CP параллельно AB , поскольку KD PC и KD AB (прямая AB перпендикулярна плоскости CPK , содержащей KD ). Значит, KD = AE = . Рассмотрим треугольник CPK . В нём
CK· PM = CP· KD, или · = b· .
После возведения в квадрат и очевидных упрощений, получим уравнение
8b4 - 27a2b2 + 9a4 = 0,
откуда находим, что b = a или b = . Если b = a , то
cos α = cos PAM = = = , sin α = .
Если b = , то
cos α = cos PAM = = = , sin α = .

Ответ

arcsin или arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7100