Задача 86927

Темы:    [ Тетраэдр и пирамида ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть M, N, K и L – середины рёбер соответственно AB, CD, BC и AD тетраэдра ABCD. Поскольку LN и MK – средние линии треугольников ADC и ABC с общим основанием AC,  LN || MK  и  LN = MK.  Поэтому прямые LN и MK лежат в одной плоскости, а четырёхугольник MLNK – параллеллограмм. Следовательно, отрезки MN и KL пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер AC и BD, также должен разделить каждый из отрезков MN и KL пополам, то есть пройти через их точку пересечения.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7103