Задача 86932

Темы:    [ Тетраэдр и пирамида ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Средняя линия треугольника ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дана треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Точки M, N и K – середины рёбер BC, AC и AB соответственно.
Докажите, что прямые MA₁, NB₁ и KC₁ пересекаются в одной точке.

Решение

  Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC,  MN || AB и MN  = ½ AB,  поэтому  MN || A₁B₁ и  MN = ½ A₁B₁.  Проведём плоскость через параллельные прямые MN и A₁B₁. Эта плоскость пересекает данную призму по трапеции A₁B₁MN, у которой основание A₁B₁ вдвое больше основания MN, поэтому диагонали A₁M и B₁N делятся точкой O их пересечения в одном и том же отношении:  MO : OA₁ = NO : OB₁ = 1 : 2.
  Аналогично докажем, что отрезок KC₁ пересекается с каждым из отрезков MA₁ и NB₁ и делится ими в том же отношении. Следовательно, все три указанных отрезка проходят через точку O.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7109