Задача 86935

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точка M – середина ребра AD тетраэдра ABCD . Точка N лежит на продолжении ребра AB за точку B , точка K – на продолжении ребра AC за точку C , причём BN = AB и CK = 2AC . Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK . В каком отношении эта плоскость делит рёбра DB и DC ?

Решение

Прямые AK , KM , AD и CD лежат в одной плоскости. Пусть P – точка пересечения прямых KM и CD . Через вершину D проведём прямую, параллельную AK , и продолжим KM до пересечения с этой прямой в точке T . Пусть AC = a . Тогда CK = 2a . Из равенства треугольников DMT и AMK следует, что DT = AK = 3a . Из подобия треугольников DPT и CPK находим, что

= = = .
Аналогично находим, что секущая плоскость делит ребро DB в отношении 2:1 , считая от вершины D .

Ответ

2:1 ; 3:2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7112