Задача 86936

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан тетраэдр ABCD . Точки M , N и K лежат на ребрах AD , BC и DC соответственно, причём AM:MD = 1:3 , BN:NC = 1:1 и CK:KD = 1:2 . Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK . В каком отношении эта плоскость делит ребро AB ?

Решение

Пусть F – точка пересечения прямых KM и CA (рис.1), P – точка пересечения прямых FN и AB . Тогда четырёхугольник MKNP – искомое сечение. Через вершину D проведём прямую, параллельную AC , и продолжим MK до пересечения с этой прямой в точке T (рис.2). Обозначим AC = a , AF =x . Из подобия треугольников DKT и CKF находим, что

DT = FC· = 2(a + x),
а из подобия треугольников DMT и AMF –
DT = AF· = 3x.
Из уравнения 2(a + x) = 3x находим, что AF = x = 2a . Через вершину B проведём прямую, параллельную AC , и продолжим FN до пересечения с этой прямой в точке E (рис.3). Из равенства треугольников BNE и CNF следует, что BE = CF = 3a , а из подобия треугольников BPE и APF –
= = = .

Ответ

2:3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7113