Задача 86979

Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Прямоугольные параллелепипеды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Через прямую BD1 проведена плоскость, параллельная прямой AC . Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB = a , BC = b , CC1 = c .

Решение

Прямая A1C1 параллельна прямой AC . Плоскость A1B1C1D1 проходит через прямую A1C1 , параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку D1 , значит, прямая a пересечения секущей плоскости с плоскостью A1B1C1D1 параллельна прямой A1C1 . Пусть B1M – перпендикуляр, опущенный из вершины B1 на прямую a . Тогда B1M – ортогональная проекция наклонной BM на плоскость A1B1C1D1 . По теореме о трёх перпендикулярах BM a , поэтому BMB1 – линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью и плоскостью A1B1C1D1 . Обозначим BMB1 = α . Отрезок B1M вдвое больше высоты B1H прямоугольного треугольника A1B1C1 , проведённой из вершины прямого угла, поэтому

B1M = 2B1H = 2· = .
Из прямоугольного треугольника BMB1 находим, что
tg α = tg BMB1 = = .

Ответ

arctg .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7176