Задача 86995

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольной пирамиде PABC боковое ребро PB перпендикулярно плоскости основания ABC , PB = 6 , AB = BC = , AC = 2 . Сфера, центр O которой лежит на грани ABP , касается плоскостей остальных граней пирамиды. Найдите расстояние от центра O сферы до ребра AC .

Решение

Пусть M – середина AC . Тогда BM AC и PM AC , поэтому BMP – линейный угол двугранного угла между гранями ABC и APC . Обозначим BMP = α . Из прямоугольного треугольника AMB находим, что

BM = = = = 2,
поэтому
tg α = = = ,
значит, α = 60^o , а MP = 2BM = 4 Соединив центр O сферы с вершинами пирамиды PABC , разобьём пирамиду PABC на три треугольные пирамиды с общей вершиной O и основаниями APC , BPC и ABC . Высота каждой из них, проведённая из вершины O , равна радиусу r сферы. Тогда
V_PABC = S_{Δ APC}· r + S_{Δ BPC}· r + S_{Δ ABC}· r =

= r(S_{Δ APC} + S_{Δ BPC} + S_{Δ ABC}),
откуда
r = =

= =

= =

= = = .
Поскольку сфера вписана в двугранный угол, образованный гранями ABC и ACP , её центр O лежит в биссекторной плоскости этого двугранного угла. Пусть K – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую AC – ребро рассматриваемого двугранного угла. Тогда
OM = = = 2r = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7192