Задача 87023

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Отношение объемов ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Основание пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD . Плоскость проведена через сторону AB и середину M бокового ребра SC . 1) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью. 2) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Решение

1) Секущая плоскость и плоскость грани DSC проходят через параллельные прямые AB и CD соответственно и имеют общую точку M . Поэтому они пересекаются по прямой, проходящей через точку M параллельно AB и CD . Если N – точка пересечения этой прямой с боковым ребром SD , то MN – средняя линия треугольника DSC . Следовательно, искомое сечение – трапеция ABMN , в которой основание MN вдвое меньше основания AB ( MN = AB = CD) .

2) Обозначим через V объём данной пирамиды SABCD . Тогда объём каждой из двух треугольных пирамид SABD и SCBD равен V (эти пирамиды имеют равные основания ABD и CDB и общую высоту, проведённую из их общей вершины S ). Треугольные пирамиды NABD и SABD имеют общее основание ABD , а высота пирамиды NABD , проведённая из вершины N , вдвое меньше высоты пирамиды SABD , проведённой из вершины S , т.к. N – середина ребра SD . Поэтому

V_NABD = V_SABD = V.
Следовательно, объём треугольной пирамиды SANB также равен V . Площадь основания SMB треугольной пирамиды NSMB вдвое меньше площади основания SBC треугольной пирамиды DSBC (т.к. BM – медиана треугольника SBC ), а высота пирамиды NSMB , проведённая из вершины N , вдвое меньше высоты пирамиды DSBC , проведённой из вершины D . Поэтому объём пирамиды NSMB в четыре раза меньше объёма пирамиды DSBC , т.е.
V_NSMB = V_DSBC = V.
Объём четырёхугольной пирамиды SABMN , отсекаемой секущей плоскостью от данной пирамиды SABCD , равен сумме объёмов треугольных пирамид SANB и NSMB , т.е.
V_SABMN = V + V = V.
Следовательно, секущая плоскость делит объём пирамиды SABCD в отношении .

Ответ

3:5 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7230