Задача 87028

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Отношение объемов ] [ Скрещивающиеся прямые и ГМТ ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух противоположных рёбер любой треугольной пирамиды, делит её объём пополам.

Решение

Пусть секущая плоскость проходит через середины N и M рёбер AB и CD соответственно и пересекает рёбра AC и BD соответственно в точках P и Q . Ясно, что пирамиды DANC и DBNC с общей вершиной D равновелики. Докажем, что пирамиды DQMN (с вершиной D ) и CPMN (с вершиной C ) также равновелики. Отсюда будет следовать утверждение задачи. В самом деле, поскольку точка M – середина отрезка CD , расстояния от концов C и D этого отрезка до плоскости четырёхугольника MPNQ равны между собой, т.е. высоты пирамид CPMN и DQMN , проведённые из их вершин C и D , равны между собой. Осталось доказать, что четырёхугольник MPQN делится диагональю MN на два равновеликих треугольника PMN и QMN . Для этого достаточно установить, что вторая диагональ PQ делится диагональю MN пополам.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые AC и BD . Концы A , B и C , D отрезков AB и CD принадлежат соответственно этим прямым. Точки N и M – середины этих отрезков – принадлежат геометрическому месту середин отрезков с концами на скрещивающихся прямых AC и BD , т.е. плоскости, параллельной прямым AC и BD , проходящей через середину одного из таких отрезков. Поэтому прямая MN лежит в этой плоскости. Поскольку отрезок PQ также один из таких отрезков, точка F его пересечения с прямой MN – середина отрезка PQ . Следовательно, точки P и Q равноудалены от прямой MN . Тогда треугольники PMN и QMN с общим основанием MN и равными высотами, опущенными на это основание, равновелики. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим проекцию данного тетраэдра на произвольную плоскость, не параллельную прямой MN . В качестве проектирующей прямой возьмём прямую MN . Тогда точки M , N и F перейдут в одну и ту же точку. Обозначим её M' . Если A' и B' – проекции точек A и B соответственно, то из свойств параллельных проекций следует, что M' – середина отрезка A'B' . Аналогично, M' – середина C'D' , где C' и D' – проекции точек C и D соответственно. Тогда четырёхугольник A'C'B'D' – параллелограмм, т.е. его диагонали A'B' и C'D' делятся точкой пересечения M' пополам. Если P' и Q' – проекции соответственно точек P и Q , то отрезок P'Q' проходит через точку M' и делится ею пополам. Значит, точка F – середина PQ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7235