ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87041
Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что в тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD , а ребро BC перпендикулярно ребру AD . Докажите, что ребро AC перпендикулярно ребру BD .

Решение



Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.1). Пусть AB CD и BC AD . Поскольку KL || CD , то KL AB , поэтому параллелограмм AKBL – ромб. Аналогично, параллелограмм LBMC – ромб. Значит, AL = BL = LC , поэтому параллелограмм ALCN – тоже ромб. Его диагонали AC и LN перпендикулярны, а т.к. LN || BD , то AC BD .


· = ( + )· ( + ) =


= -2 + · + · + · = -2 + · + · + 0 =


= · ( - - ) = · ( - ) = · = 0.

Следовательно, AC BD .

Пусть DH – высота данного тетраэдра ABCD (рис.2). Тогда AH – ортогональная проекция наклонной AD на плоскость грани ABC . Известно, что AD BC , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах AH BC . Аналогично докажем, что CH AB . Поскольку на прямых AH и CH лежат высоты треугольника ABC , высота этого треугольника, проведённая из вершины B также проходит через точку H . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах BD AC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7254

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .