ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 87055
Условие
Докажите, что противоположные рёбра тетраэдра ABCD попарно
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
Решение
Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC
( AN || KD || BM || LC ), проведя через
его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Пусть AB Следовательно, Обратно, пусть теперь AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2 . Рассмотрим параллелограммы AKBL и BMCL с общей стороной BL . По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма а т.к. AB2 + CD2 = BC2 + AD2 , то AL = CL . Аналогично докажем, что все остальные рёбра параллелепипеда равны. Значит, все его грани – ромбы. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, перпендикулярны и противоположные рёбра тетраэдра ABCD . Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке