ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 87060
УсловиеОтрезок AB ( AB = 1 ), являющийся хордой сферы радиуса 1, расположен под углом 60o к диаметру CD этой сферы. Расстояние от конца C диаметра до ближайшего к нему конца A хорды AB равно . Найдите BD .РешениеДостроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Пусть O и Q – центры граней NDMC и AKBL соответственно. Тогда O –центр сферы, KL = CD = 2 , OQ AB , OA = OB = 1 как радиусы сферы, KL || CD , QB = QA = , QL = QK = 1 . Пусть BQL = 60o . Тогда по теореме косинусовпоэтому треугольник BQL – прямоугольный, QBL = 90o . Значит, AB BL , а т.к. BM || OQ и OQ AB , то AB BM , следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости грани BMCL . Тогда AB BC , значит, в прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AC больше катета BC . Но по условию AC < BC , поэтому BQL = 120o . В этом случае BQK = 60o . Тогда По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AQO находим, что значит, AN = CL = OQ = . В параллелограмме ALCN поэтому Следовательно, BD = 1 . Ответ1.00Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|