Условие
В треугольной пирамиде ABCD известно, что CD = a , а
перпендикуляр, опущенный из середины ребра AB на CD ,
равен b и образует равные углы α с гранями ACD
и BCD . Найдите объём пирамиды.
Решение
Пусть M – середина ребра AB , а точка N лежит на ребре CD ,
причём MN 
CD и MN = b . Достроим тетраэдр ABCD до треугольной
призмы ABCEFD ( AE || BF || CD ) и проведём через прямую
MN плоскость, перпендикулярную ребру CD . Пусть эта плоскость пересекает
прямые AE и BF соответственно в точках P и Q . Тогда треугольник NPQ
– перпендикулярное сечение призмы, а 
MNQ = MNP = α .
Из равенства треугольников AMP и BMQ следует, что M – середина PQ ,
поэтому биссектриса NM треугольника NPQ является его медианой, значит,
треугольник NPQ – равнобедренный. Поскольку MP = MN tg α = b tg α ,
SΔ NPQ = 
PQ· MN = MP· MN = b2 tg α.
Объём призмы равен произведению площади её перпендикулярного
сечения на боковое ребро, поэтому
VABCEFD = SΔ NPQ· CD = ab2 tg α.
Следовательно,
VABCD = 
VABCEFD = ab2 tg α.
Ответ
ab2 tg α .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7279 |
