Задача 87061

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Двугранный угол ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольной пирамиде ABCD известно, что CD = a , а перпендикуляр, опущенный из середины ребра AB на CD , равен b и образует равные углы α с гранями ACD и BCD . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть M – середина ребра AB , а точка N лежит на ребре CD , причём MN CD и MN = b . Достроим тетраэдр ABCD до треугольной призмы ABCEFD ( AE || BF || CD ) и проведём через прямую MN плоскость, перпендикулярную ребру CD . Пусть эта плоскость пересекает прямые AE и BF соответственно в точках P и Q . Тогда треугольник NPQ – перпендикулярное сечение призмы, а MNQ = MNP = α . Из равенства треугольников AMP и BMQ следует, что M – середина PQ , поэтому биссектриса NM треугольника NPQ является его медианой, значит, треугольник NPQ – равнобедренный. Поскольку MP = MN tg α = b tg α ,

S_{Δ NPQ} = PQ· MN = MP· MN = b2 tg α.
Объём призмы равен произведению площади её перпендикулярного сечения на боковое ребро, поэтому
V_ABCEFD = S_{Δ NPQ}· CD = ab2 tg α.
Следовательно,
V_ABCD = V_ABCEFD = ab2 tg α.

Ответ

ab2 tg α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7279