Условие
Докажите, что все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр)
тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противоположных
рёбер, попарно перпендикулярны.
Решение
Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC
( AN || KD || BM || LC ), проведя через его
противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
1) Пусть отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер AB и
CD , AC и BD , AD и BC , попарно перпендикулярны. Тогда параллелепипед
AKBLNDMC – прямоугольный. Диагонали AB и KL прямоугольника AKBL
равны, значит, AB = KL = CD . Аналогично докажем, что AC = BD и AD =
BC . Следовательно, все грани тетраэдра ABCD – равные треугольники
(по трём сторонам).
2) Пусть теперь AB = CD , AC = BD и AD = BC . Тогда все грани
параллелепипеда AKBLNDMC – прямоугольники, поэтому параллелепипед
AKBLNDMC – прямоугольный. Отрезки, соединяющие центры его
противоположных граней, параллельны соответствующим рёбрам
параллелепипеда. Следовательно, эти отрезки попарно
перпендикулярны.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7281 |
