Условие
Докажите, что все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр)
тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противоположных
рёбер, попарно перпендикулярны.
Решение
Достроим данный тетраэдр
ABCD до параллелепипеда
AKBLNDMC
(
AN || KD || BM || LC ), проведя через его
противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
1) Пусть отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер
AB и
CD ,
AC и
BD ,
AD и
BC , попарно перпендикулярны. Тогда параллелепипед
AKBLNDMC – прямоугольный. Диагонали
AB и
KL прямоугольника
AKBL
равны, значит,
AB = KL = CD . Аналогично докажем, что
AC = BD и
AD =
BC . Следовательно, все грани тетраэдра
ABCD – равные треугольники
(по трём сторонам).
2) Пусть теперь
AB = CD ,
AC = BD и
AD = BC . Тогда все грани
параллелепипеда
AKBLNDMC – прямоугольники, поэтому параллелепипед
AKBLNDMC – прямоугольный. Отрезки, соединяющие центры его
противоположных граней, параллельны соответствующим рёбрам
параллелепипеда. Следовательно, эти отрезки попарно
перпендикулярны.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7281 |
