Задача 87065

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Равногранный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что все грани тетраэдра равны (т.е. тетраэдр – равногранный) тогда и только тогда, когда точка пересечения медиан и центр описанной сферы совпадают.

Решение

Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC (рис.1) ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. 1) Пусть центр O сферы, описанной около тетраэдра ABCD , совпадает с точкой пересечения медиан тетраэдра ABCD . Известно, что медианы тетраэдра делятся точкой пересечения в отношении 3:1 , считая от вершины тетраэдра. Если DE и CF - медианы тетраэдра, а R – радиус описанной сферы,то

DE = DO = R = CO = CF.
Поскольку E и F – точки пересечения медиан треугольников ABC и ABD , продолжения отрезков CE и DF пересекаются в середине G ребра AB . Из равенства треугольников COE и DOF (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство отрезков CE и DF , поэтому
CG = CE = DF = DG,
значит, треугольник DGC – равнобедренный. Его высота GH является медианой, поэтому H – середина ребра CD тетраэдра ABCD . Аналогично, перпендикуляр, опущенный из середины CD на AB , проходит через середину AB . Таким образом, отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра ABCD , перпендикулярны этим рёбрам, а значит, и граням параллелепипеда AKBLNDMC . Поэтому, параллелепипед AKBLNDMC – прямоугольный. Следовательно, все грани тетраэдра ABCD – равные треугольники. 2) Пусть теперь все грани тетраэдра – равные треугольники (рис.2). Тогда противоположные рёбра тетраэдра попарно равны, т.е. AB = CD , AC = BD и AD = BC . Значит, все грани параллелепипеда AKBLNDMC – прямоугольники, поэтому параллелепипед AKBLNDMC – прямоугольный. Центр его описанной сферы совпадает с точкой пересечения диагоналей. В то же время, эта сфера является описанной сферой тетраэдра ABCD . Пусть диагональ AM параллелепипеда пересекает плоскость грани BCD тетраэдра в точке T . Известно, что T – точка пересечения медиан треугольника BCD и MT = AM . Если O – центр сферы, то
OT = OM - MT = AM - AM = AM = · AM = AO.
Следовательно, O – точка пересечения медиан тетраэдра ABCD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7283