ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 87066
Условие
Дана треугольная пирамида ABCD . Скрещивающиеся рёбра AC и BD
этой пирамиды перпендикулярны. Также перпендикулярны скрещивающиеся
ребра AD и BC , а AB = CD . Все рёбра этой пирамиды касаются шара
радиуса r . Найдите площадь грани ABC .
Решение
Докажем, что противоположные рёбра AB и CD тетраэдра ABCD (рис.1)
также перпендикулярны. Достроим данный тетраэдр ABCD до
параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ),
проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.
Так как AC Следовательно, Обозначим AB = CD = a . Пусть сфера радиуса r касается рёбер AB , CD , AD и BC тетраэдра ABCD в точках E , F , G и H соответственно (рис.2). Тогда Аналогично, AC + BD = AB + CD , а т.к. то Возведём обе части второго равенства в квадрат и сложим полученное равенство с первым. Имеем систему уравнений из которой находим, что AC = BD = a . Аналогично, AD = BC =a . Значит, ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , а параллелепипед AKBLNDMC – куб, диагональ грани которого равна a , а ребро Ответ
2r2 Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке