Условие
Основание четырёхугольной пирамиды – квадрат, а все боковые
грани – прямоугольные треугольники, у которых вершины прямых углов
лежат на основании пирамиды. Найдите объём пирамиды, если её высота
равна 1, а один из двугранных углов при вершине равен 120o .
Решение
Пусть PABCD – данная четырёхугольная пирамида с вершиной P ,
ABCD – квадрат. Предположим, что
PAB = PBC = PCD = PDA = 90o.
Поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника меньше катета,
PA < PB < PC < PD < PA,
что невозможно.
Аналогично докажем, что невозможны все случаи расположения
прямых углов, "симметричные" рассмотренным (т.е. через один).
Остается возможность, когда к одной из вершин прилежат два
прямых угла. Пусть это будет вершина
A . Поскольку
PA 
AD
и
PA AB , боковое ребро
PA перпендикулярно плоскости основания,
а т.к.
AB BC и
AD CD , то по теореме о трёх перпендикулярах
PB BC и
PD CD , т.е.
PBC = PDC = 90
o .
Двугранный угол при ребре
PA прямой, т.к. его линейный угол –
это угол
BAD . Прямая
BC перпендикулярна плоскости грани
PAB , т.к.
BC AB и
BC PB . Значит, плоскость грани
PBC проходит через
перпендикуляр
BC к плоскости грани
PAB , поэтому плоскости граней
PAB и
PBC перпендикулярны. Следовательно, двугранный угол при ребре
PB равен
90
o . Аналогично, двугранный угол при ребре
PD
также равен
90
o . Таким образом, двугранный угол при ребре
PC
равен
120
o .
Пусть
K – основание перпендикуляра, опущенного из вершины
B на
ребро
PC . Поскольку
AC BD и по теореме о трёх перпендикулярах
PC BD , прямая
PC перпендикулярна плоскости
треугольника
BKD , поэтому угол
BKD – линейный угол двугранного угла
при ребре
PC . По доказанному
BKD = 120
o .
Пусть
O – центр квадрата
ABCD . Тогда
OK – высота, медиана и
биссектриса треугольника
BKD . Обозначим через
a сторону квадрата
ABCD , через
α – угол
ACP . Из прямоугольных треугольников
KOD
и
PAC находим, что
OK = OD tg KDO = 
tg 30o =
= 
,
sin α = sin ACP = 
=
= 
,
ctg α = 
= 
= 
,
a = AC = PA ctg α = ,
откуда
a = 1
. Следовательно,
VPABCD = 
AB2· PA = · 1· 1 = .
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7305 |
