Задача 87107

Темы:    [ Неравенства с углами ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что угол наклонной с плоскостью есть наименьший из углов, образованных этой наклонной со всевозможными прямыми плоскости.

Решение

Пусть наклонная l пересекает плоскость ϕ в точке A и образует с плоскостью ϕ угол α , а с прямой a , лежащей в плоскости ϕ , – угол β . Пусть точка M лежит на прямой l , причём AM = 1 . Опустим перпендикуляр MH из точки M на плоскость ϕ , а через точку A проведём прямую, параллельную прямой a , и опустим на неё перпендикуляр MB из точки M . Обозначим угол между прямыми l и AB через γ . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах BH AB . Из прямоугольных треугольников AHM , BHM и ABH находим, что

AH = AM cos MAH = AM cos α = cos α,

AB = AM cos BAM = AM cos γ = cos γ,

AB = AH cos BAH = cos α cos β.
Значит, cos γ = cos α cos β , а т.к. cos β 1 , то cos γ cos α . Следовательно, γ α . При этом равенство достигается лишь в случае, когда прямая a параллельна AH .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7427