Условие
Докажите, что сумма двух плоских углов трёхгранного угла
больше третьего.
Решение
Рассмотрим трёхгранный угол
PABC с вершиной
P . Обозначим
его плоские углы
BPC ,
APC и
APB через
α ,
β
и
γ соответственно. Пусть
γ –
наибольший из них. Докажем, что
α + β > γ . Тогда утверждение
задачи будет тем более верно для остальных случаев.
Через вершину
P в плоскости угла
APB , проведём между сторонами
этого угла луч
PD под углом
α к лучу
PB . Это можно
сделать, т.к.
α < γ . На лучах
PC и
PD отложим равные
отрезки
PM и
PN соответственно. Через точки
M и
N проведём плоскость,
пересекающую лучи
PA и
PB соответственно в точках
K и
L .
Треугольники
PLN и
PLM равны по двум сторонам и углу между
ними, поэтому
LN = LM . Применяя нервенство треугольника к
треугольнику
KLM , получим, что
KN + LN < KM + LM , поэтому
KN < KM .
Стороны
PK и
PN треугольника
KPN соответственно равны сторонам
PK и
PM треугольника
KPM , а сторона
KN треугольника
KPN меньше
стороны
KM треугольника
KPM . Поэтому
KPN < KPM , или
β > γ - α . Следовательно,
α + β > γ .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7428 |
