Условие
Докажите, что сумма двух плоских углов трёхгранного угла
больше третьего.
Решение
Рассмотрим трёхгранный угол PABC с вершиной P . Обозначим
его плоские углы BPC , APC и APB через α , β
и γ соответственно. Пусть γ –
наибольший из них. Докажем, что α + β > γ . Тогда утверждение
задачи будет тем более верно для остальных случаев.
Через вершину P в плоскости угла APB , проведём между сторонами
этого угла луч PD под углом α к лучу PB . Это можно
сделать, т.к. α < γ . На лучах PC и PD отложим равные
отрезки PM и PN соответственно. Через точки M и N проведём плоскость,
пересекающую лучи PA и PB соответственно в точках K и L .
Треугольники PLN и PLM равны по двум сторонам и углу между
ними, поэтому LN = LM . Применяя нервенство треугольника к
треугольнику KLM , получим, что KN + LN < KM + LM , поэтому KN < KM .
Стороны PK и PN треугольника KPN соответственно равны сторонам
PK и PM треугольника KPM , а сторона KN треугольника KPN меньше
стороны KM треугольника KPM . Поэтому 
KPN < KPM , или
β > γ - α . Следовательно, α + β > γ .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7428 |
