ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87110
Темы:    [ Неравенства с углами ]
[ Неравенства с трехгранными углами ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма углов пространственного четырёхугольника не превосходит 360o .

Решение

Пусть вершины четырёхугольника ABCD не лежат в одной плоскости. Поскольку сумма двух любых плоских углов трёхгранного угла больше третьего, имеем:

ABC < ABD + CBD, ADC < ADB + CDB.

Сложив почленно эти неравенства, получим, что
ABC + ADC < ABD + CBD + ADB + CDB =


= ( ABD + ADB) + ( CBD + CDB) =


= (180o - BAD) + (180o - BCD).

Следовательно,
ABC + BCD + ADC + BAD < 360o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7430

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .