Задача 87110

Темы:    [ Неравенства с углами ] [ Неравенства с трехгранными углами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма углов пространственного четырёхугольника не превосходит 360^o .

Решение

Пусть вершины четырёхугольника ABCD не лежат в одной плоскости. Поскольку сумма двух любых плоских углов трёхгранного угла больше третьего, имеем:

ABC < ABD + CBD, ADC < ADB + CDB.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
ABC + ADC < ABD + CBD + ADB + CDB =

= ( ABD + ADB) + ( CBD + CDB) =

= (180^o - BAD) + (180^o - BCD).
Следовательно,
ABC + BCD + ADC + BAD < 360^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7430